李启斌 韩念国 林家翘
（中国科学院北京天文台）
(发表于《中国科学》1976年第4期）
一、基 本 方 程
盘状星系的气体动力学方程可以线性化为如下形式[见Lin和Lau(1975) [3]一文中(3.7)式]：
[ψ1"+Aψ1'+Bψ1]+[ h1"+Ah1'+Bh1+Ch1]=0, (1.1)
①本文是美国麻省理工学院教授林家翘于1976年4月至6月访华期间，与我国有关科学工作者共同讨论和研究的成果。参加讨论的科学工作者还有：刘永镇、朱慈盛、肖兴华、陈道汉、陈振诚、岳曾元、胡文瑞、赵昭旺、翁士达、谈镐生、黄寅亮、解伯民。
其中h1是扰动焓，而ψ1是扰动引力势
∧
ψ1=ψexp{i ∫kdr}. (1.2)
与资料[3]相一致，采用下列记号①：
其中r为到星系中心的距离，σ0为轴对称基态面密度，m为旋臂数，Ω为自转角速度，Ωp为密度波图案角速度，α0为声速。
扰动引力势ψ1满足Poisson方程
▽2ψ1=4πGσ1δ(z), (1.8)
其中σ1为扰动面密度。其速变相二级渐近解（Shu, 1970)[6]可写为
yi=-_yi-iszh.
(1.9)
把上式代入(1.1)式，得
W'+(A-ie2)Ai+iex(l--A-_)+B+c]A+(B-
4+43)w=0. (110)
A2r
这个方程与Lin和Lau(1975)[3]文中方程(6.2)的差别在于有高阶项和保留了k的符号g。在(1.10)式中忽略高级小量，得到
][-局]问-。
(-A-C+iez
(1.11)
h"+(A-ic2)h'+
上式1-而|B项中，似仍有未知量k。但此项在下面（(1.17)式中写作另一形式，
①Lin和Lau(1975)3)文中，B的定义式中有误印，现已在(1.4)式中改正。
便可解决此问题。
采用标准变换
/2
(1-v2
K2
_ jzdr
(1.12)
h=u·exp
oor
把(1.11)式化为
d2u
u=0.
a2fo+afi」
(1.13)
+|dr2
这就是我们要讨论的基本方程。其中A是大参量，而
K2
1
1
1+v2
(1.14)
fo=
Q2
22 a6
d
1
InQ2(1-v2)+
B
1
(1.15)
“2-
f =
ん
2
dr
注意，式中v为复数，参数A可取为kr/ao的典型值。
上式中含B的项按其大小而言，在我们的近似中一般是应当略去的，但是因为它在共转半径ra。有奇异性，所以保留下来。在远离rc。处，它的作用相对于前一项可以忽略。在我们的近似情况下，在共转半径附近有
2
N
mS2
(1.16)
1
B=
+O(1),
ん
К
V
r
其中O(1)是正则函数，以后可以略去；N是主要系数，定义为
k2/o0s2
d ln
(1.17)
N=
dlnr
它的作用将在第四节中讨论。
二、一致有效的渐近解
我们先讨论N=0的情形。
方程(1.13)中的系数A2f=A2f6+Afi，按其主部6而言，在ro具有双零转向
点；如果在星系中心附近Q值适当增加的话，那么f。在rae将具有单零转向点。
在我们的模式中，一个重要的假定是，re>r-1，这里r-1表示内Lindblad共振半
径。通常的速变相法（WKB法）在转向点roe与ra。附近将会失效，为寻求下一级近似的一致有效渐近解，就不得不在两个转向点邻域分別讨论，然后在交集上把两个解衔接起来。
首先考察rce邻域。令
バ
く=A
√fo(s)ds.
(2.1)
Jrce
采用辅助函数和参考方程
Vi(5)=513Z13(5),
(2.2)
d2Vi
1 dVi
+Vi=0,
+
d52
35 d5
(2.3)
其中Z1/s表示1/3阶Bessel函数。于是，可以求出ree邻域的一致有效渐近解为
(见附录)：
1/2
ぐ
[Z1/3(5)cos G1+Z_2/3(5)sin G1],
(2.4)
uce
JF。
其中
fi(s)
fr
(2.5)
G(г) -
ds.
Jre 2√fo(s)
同样，在rc。邻域引入变量和参考方程
(2.6)
z=-al√fo(s)ds,V2(Z)=z14Z14(z),
(2.7)
d2V,
1 dV2
(2.8)
+V2=0.
+-2z dz
dz2
相应的一致有效渐近解为：
1/2
[Z14(2)cos G2 +Z_314(z)sin G2].
(2.9)
Z
uco
其中Z总是表示Bessel函数，而
fi(s)
(2.10)
G2(r)=
ds.
√f6(s)
Jrao
边界条件与Lin和Lau(1976)4)文中取法相同，即在re。之外为外行波，而在rce之内为指数衰减。于是，在r>rce有
Ⅱi
(2.11)
Z(G)=e6'H(1)()+e 6'H(2)(5).
而在rr。之外取为：o=( 7][H?(C)cosG3+H9A()sinG3]
(2.12)
其渐近式为：
vo=(60)a(7( 0)。16.
(2.13)
在这个区间，Gx2的虚部的符号与e相同，所以在共转圈外，曳波(e=-1)
随着离中心的距离的增加而衰减。
在rao之内，Bessel函数具有如下形式
Z(2)=(2e H(0)(2)+ H(2)(2).
(2.14)
三、幅度分布
按群速分别讨论内行波(一)与外行波(+)，上节的解在区间(resrao)可以写为：
uce = uce + uce, uco = uco + uco,
(3.1)
其中
1/2
元
[H{}3)(5)cos Gi+H_2)3(5)sin G1|,
(3.2)
6
uce =e
т
[Hi3(G)cosG1+H23()sinG],
(3.3)
uce =e6
\1/2
30;
(3.4)
uo=√2e 4
[H{2(z)cos G2+H3)4(z)sinG2],
(А)Гнаесс-нз еннс)
\1/2
(3.5)
uco =e2
根据内行波与外行波在交集上分别相等的条件，就得到
(3.6)
auce=buco, aute=buto,
其中a与b是常数，满足21'4a2=b2e41。如果引入符号
(3.7)
中=5+z=ag"o√f6(s)ds,
G=G1+G2=('o_fi(8)
ds.
(3.8)
he 2(f6 (s)
从等式(3.6)能得到
ein =√2e2i(p+G)
(3.9)
由此推出
n+之元”
中R +GR
(3.10)
9,+G1=▁lnv5.
(3.11)
量子条件(3.10)式同Lin和Lau(1976)4]求出的色散关系一致，只是增加了一
个二级近似得到的小改正项GR。(3.11)式也同该文结果一致。
最后，我们计算一个简单的例子。采用的模型（见图1,2)是：
50
(r<6千秒差距)，
240
(r+1)2
2=
Q=
(3.12)
r+0.5
(r≥6千秒差距)，
1
ao=45公里/秒.
我们得到
SQpR=22公里/秒，Qpr=-0.71公里/秒.千秒差距.
(3.13)
200
英
S2
100
田+
S2+k/2
Op
S2-K/2
T5—
15
10
0
r(千秒差距)
星系的自转曲线
图1
20
10
_▁
_L
15
10
15
0
r(千秒差距)
Q值分布
图2
在图3,4中画出了参量f6(相当于Lau,Lin和Mark(1976)5]文中的好)与密度波的幅度分布。
0.75r
0.50l
4e 0.25
0
rco
rce
-0.25
5
12
8
6
7
10
9
11
r(千秒差距）
图3
参数f6的分布
10
0
6
5
9
7
10
r(千秒差距)
密度波的幅度分布
图4
四、奇点的讨论
对于许多实际的星系模型，奇异项并不存在。实际上，只要Q~r”，而且
oo-r”，就有N=0。例如，我们在计算幅度分布时，使用的模型就是如此。仅当刃≤1时，算出的总质量会是无穷大。可是如果求出的h在远处很小的话，结果还是有意义的。
在一般情况下，在距星系中心较远处有
N>0.
(4.1)
因为在那里2与k的衰减速率相同，而oo则要衰减得更快一些。据初步计算结果，得下列两式：
(-v)
中1=-MSQpr，其中M=om
dr >0,
(4.2)
Jre ao
1
Q2-1+v2
G,=LQF1，其中L=2品N>0.
(4.3)
这个结果还需要继续讨论，先把初步结果意义解释如下。现在把(4.2)与(4.3)式代入(3.11)式，就会得到
-M.9py +L.971 = ln5.
(4.4)
对于增长波（Qpr<0）而言，奇异项（LsQo}）的影响是增加增长率。这是同Lynden-Bell和Kalnajs(1972)7关于波与粒子相互作用的结果相一致的。
通过以上研究，我们建立了盘状星系中密度波的一种模式（包括幅度分布)。在研究中，用气体盘来模拟恒星盘。计算过程中用了线性化方法与速变相法，然而本文的结果仍然具有相当大的普遍意义。此外，我们假设度量弥散速度的参量Q在星系中心区域适当地增加，这一点是很合理的。我们证实了Lau，Lin
和Mark(1976)J[5]的结论，现在可以说，至少存在一种机理可以使整个星系盘上密度波图案长期维持下去。
附录(1.13)式解的推导
由于在两个邻域中的求解方法十分相似，所以我们只简述r。。邻域的情形。待解的方程为：
d2u
[a2f6+af]u=0,+
dr2
其中A是大参量，而f6在rc。具有(复的）双零。引入新的变量
バ―
√fo(s)ds.
2–-1
Jreo
(2)
所用的参考方程为：
d2V
1 dV
+V=0.
+
dz2
(3)
2z dz
它的解是
V(г)-2142,(г),
(4)
其中Z1/4(z)是1/4阶的Bessel函数。
现在寻求下述形式的渐近解
dV
u=aV(z)+β
(5)
dz,
其中a与B是待定函数。
a=ao(r)+ap(r)A-1+…, β=po(r)+βi(r)a-1+….
(6)
把(5)式代入(1)式并使V(z)及dV/dz的系数为零，就得到两个关于a和B的微分
方程。再把(6)式代入其中就会发现，含有A2的项自然为零。这也是选（3)式为
参考方程的理由之一。
使含有A的项为零，就得到
d2z
dz dpo
po
dz
(7)
-2-
po+
+aaofi=0,
dr dr
__2dr
2z
dr
dz dao
d2z
dz
2
ao
(8)
+
+Apofi=0.
ao
dr2
dr dr
2z
dr
请注意，(2)式中z与A成正比。(7)与(8)式的积分为：
1/4
\1/4
(9)
Z
Z
ao
cos G2, p0=
sin G2,
=
fo
fo
其中
(10)
fi(s)
G2=-[”
ds.
Jrio 2Jfo(s)
最后，利用熟知的关系式，
Zi4 =Z314- z 1Z14,
(11)
就得到我们所求的解
1/2
[Z14(2)cos G2 +G_34(z)sin G2].
u=
(12)
参考资料
Toomre, A., Ap. J., 158 (1969), 899.
[1]
[2] Lin,C. C., in I. A. U. Symp., 1970, No.38.
[3] Liu,C. C., & Lau,Y. Y., SIAMJ.Appl. Math.,29(1975),352.
[4] Lin, C.C., & Lau,Y. Y., 1976, in press.
[5] Lau, Y. Y., Lin C. C., & Mark, J., Proc. Nat. Acad, Sci., 1976, in press.
Shu,F.H.,Ap.J.,166(1970),99.
[6]
[7] Lynden-Bell, D., & Kalnajs, A. J., MNRAS, 151 (1972), 1.
