李启斌

（中国科学院北京天文台）

(发表干《中国科学》1978年第1期）

本文从扁平自引力星云盘的动力学出发，研究了太阳系行星的起源问摘要题。得到的演化图像是：在原始太阳系星云盘中，将形成一族环带和单臂旋渴密度波叠加构成的主轮廓，以及窄而弱的多重臂；旋臂与环带交点上的引力势阱以图案速度刚性旋转，势阱掠过物质时将环中物质搜集为原行星；次级势阱则可能形成彗星和小行星；在主势阱形成的原行星云中，以类似行星形成的密度波过程形成卫星系。

行星起源的这种机理可以说明太阳系的一些主要观测事实：(1)行星距离分布的几何级数关系——提丢斯-波得定则；(2)火星与木星间缺少一颗行星而有一小行星带存在；（3)行星自转与公转速度相同；(4)在一个轨道上只有一颗大行星。从而，我们为太阳系起源的星云说提供了一个新方案。

太阳系的起源与演化是认识宇宙的最基本的问题之一，对于天文学的发展和树立正确的世界观都有十分重要的意义。对于康德和拉普拉斯关于太阳系起源的学说——星云说，恩格斯曾经给予很高的评价，认为它是“哥白尼以来天文学取得的最大的进步”，在十八世纪占统治地位的形而上学自然观上打开了第一个缺口。二百年来，人类对于太阳系起源的认识逐渐深化。但是对于太阳系起源的认识并没有完结，目前处在继续发展和各种学说争鸣的局面。

关于这一领域的历史和现状，戴文赛和陈道汉[1曾经作过全面的评述，这里就不再赘述。正如文献[1]指出的：星云说的基本内容是正确的，但是也应该注意到，星云说的每一种具体方案都碰到一些重要事实不易解释，特别是在行星形成问题上存在困难。先形成环体的学说不易说明如何由环形成行星，而先形成原行星的学说则往往不易说明提丢斯-波得定则及行星的自转。本文则试图从原始太阳系星云盘的动力学出发，着眼于密度扰动、较自然得出能够说明主要观测事实的行星形成过程，从而为太阳系起源演化的星云说提出一个新方案。

 

一、原始太阳系星云的动力学

我们的出发点是原始太阳系星云已经形成一个扁平星云盘。

现在我们来考虑原始太阳系扁平星云盘的动力学方程。因为它是星云，应该遵守流体力学定律，尽管其中包括固体粒子，但正如林家翘[2]所指出的，气体动力学仍是很好的近似。又因为它自身具有引力，应该遵守引力定律。所以，描写原始太阳系星云的基本方程是二维欧拉方程：

00 1 a

1__

(our)+

(oV)=0,

一+

at+rar

(1)

r a0

au.

v2

ou

a6 ao

Y ou

ду

_+u

—+

(2)

=

at

arr a0

ar'

o ar

ア

a6 0o

4.Oу  у ду

av

ду

uv

一+—=-

—+u-+一

(3)

at

“arra0 r

o 30

80

和泊松方程

V2y=4元Go8(z).

(4)

在(1)-(4)式中，(r8)是平面极坐标，u,v是相应的速度分量，t为时间，o为盘面上的投影面密度，业为引力势，ao为气体中的声速，8(z)是狄拉克8函数，z是垂直盘面的坐标。

原始太阳系星云的演化决定于方程组(1)一(4)解的性质，下面我们研究方程组的解。

首先，我们将所有物理量（包括业，o,u,V)分成轴对称基本项和微扰项两部分

W=Wo(r)+Wi(r,0,t), o=oo(r)+oi(r,0,t),

(5)

u=ui(r,0,t), v=rsQ(r)+Vi(r,0,t).

将（5)式代入基本方程组(1)一（4)，忽略微扰项的二阶项，将其化为线性方程组：

001+2001+1 0 (ro04)+1 g(00)=0,

(6)

r arat80

a6 ooi_ oyi

0u41 + s2 0u41 - 2s2y1 = -:

(7)

aroo ar

ator

1 a6 001 _ 1 0y10h1_p0y+104=-To, 00 r 00

(8)

at

02y1_10y +1 2y 0'y = 4nGo,6(2)

(9)

az2

3r2

P2 a02

r ar

这个方程组同林家翘口]研究星系密度波的气体动力学模型是一致的。

WaralP研究原始太阳系星云盘的稳定性时，也采用过类似的方程。我们将采用同密度波理论类似，但较一般化的方法来研究方程的解。方程组(6)一(9)是线性的，它的通解可以写成如下形式的实部

q1= 三qmei1[o,(;,)-m0],

(10)

17

其中q代表物理量业,o,1u,v,qm是复常数，fm是r,t的复函数

CDm(r,t)=CmR(r,t)+i①ml(r,t),

(1)式中mR是位相函数，虚部ml是振幅函数。因为解是三角函数的线性组合所以研究其中一个分量

q1= Gmei[(0m(r,()-me]

(12)

就可以了解解的性质。

a中m

关于泊松方程的解，在实部、虚部各准确到一级渐近近似

万，

r》1

or

有（参见文献[4])

0y1 = -2enGoji,

(13)

ar

0中ml符号，

其中e是

ar

将(12)，(13)式代入(6)-(8)式，得

k6-e7k,+器(0-1而)-0,

(14)

其中

0Om _ OOmR

 aODml = kmR + ikml,

km=

+i-

arar

ar

Vm = Om-m.2

= VmR +iVml1,

(15)

К

.ODml

mR

m

@т =

+i-

=

= @mR +i@ml,

at

at

at

2тСоо

\1/2

r d2

K=2.2

1+-

a6

2.2 dr

分开(14)式的实部和虚部得

 

K2

(16)

E

Q-2-1+v而R-v而1

+-

kmR -

=

一2

K2

24

K2

E

(17)

kml

kmR

VmRVm1)

=

一2

a6

或

Q-2 -1

2

K2

E

(18)

V而R

1+

kmR

=

一2

a6

a6

v而R

k而1

+

2

К

2，

Q-2-1

(19)

v而

-k而1

1+

a6k而1v而R+

К

其中

Kao

(20)

Q=

тGоо

是局部金斯不稳定判据，Q>1稳定，Q<1不稳定。对于一个正在形成行星系

的星云，显然它应处于边际稳定状态(Q=1)。这时对于导型(g>0)短波有

KmR =-E +K VmR)

1

(21)

2

ao

Ym1 = 40 kml'

(22)

К

以上分析表明，原始太阳系星云盘的动力学基本方程组的解是振幅随r，t变化的m臂(m=0,1,2,…)旋涡密度波的组合。(18),(19)或(21),(22)式确定臂数为m的波的色散关系。

二、行星的形成

现在我们来从解的性质研究行星形成的过程。解的性质将表明，由于密度扰动，星云盘将由一系列环带（m=0的情形）和旋臂（m>0的情形）构成。环带提供了形成行星的原料，旋臂则使环带上的物质聚集为行星。下面，我们分别进行讨论。

 

1.m=0，环带的分布

由(21)式，当m=0时，有

元G

=

Oo.

2

ar

a6

取气体的多方过程

P-КоГ.

其中P为气体压力，K为常数，P为多方指数，于是

(24)

dP

=KToT-1

24

=

do

(25)

这样，(23)式成为：

af _ nG

2-T

60

ar

КТ

(26)

我们参照Schatzman[5]对于原始太阳系星云物理条件的研究，取

4.5

Га

=1.5,

(27)

3

B2

o0=

(28)

(r-A)2

其中A,B是常数，于是

2тG

B

2BG元

r-A

中=

dr =

(29)

In

3K

r-A

3К

C

其中C是积分常数.

将(29)式代入(13)式，得

2B元G

r-A

(30)

o1=д ехр

ln

1

ЗК

C

由(30)式可知，密度有径向起伏，密度极大值的条件是

(31)

2BTG

r-Aln

— 2пт,

3К

C其中n是自然数。可见星云盘出现一组密度极大的环带。由(31)式可得这些带的半径为：

(32)

rn=A+C.D",

式中常数D定义为

(33)

D=e3K/BG

(32)式正是提丢斯-波得定则的标准形式[6]。

于是我们可以得出结论，原始太阳系星云盘由于密度扰动将出现一系列环带，环带上的物质是形成行星的原料。环带的距离分布决定了由环带形成的行星的距离满足提丢斯-波得定则。

2.m>0旋臂

这时，解为m臂旋涡密度波，在旋臂上，密度为极大、引力势为极小。而旋臂与环带的交点将形成一些密度更大、引力势更小的区域。旋涡波有两个特点是值得注意的。

(1)臂越多，强度越弱，存在范围越窄。事实上，由(22)式可知，

(34)

@ml =aokml·

这表明振幅径向向外减小的波(kml>0)，振幅随时间衰减。而@ml=m.Qr，所以m越大，衰减越快。于是单臂旋涡波将成为最强、最主要的结构。同时，解的存在范围

S2-K/m<SQpR<S2+K/m,

(35)

表明旋臂多的波的存在范围窄。因而，单臂旋涡波乃是最强最宽的主要结构，窄而弱的多臂波，是次级结构。

（2)旋臂以图案速度QpR刚性地旋转。除共转圈外，图案速度均与星云物质

较差自转速度不同。在共转圈，图案速度与星云物质自转速度相等，即QpR=Q。

由以上两点可知，旋臂与环带相交的交点构成一系列势阱。在一个环带上只有一个主势阱，还有一些次级势阱。共转圈附近的环带上次级势阱较多，这些势阱以图案速度自转，同环中物质有相对运动。在相对运动中，星云物质经过势阱时即落入势阱。因而势阱中物质密度不断增大，最后将环中物质聚集为行星。这就是原始太阳系星云盘形成行星的过程，势阱中的物质形成行星，可能经过类似的方式形成卫星，次级势阱则将形成小行星或彗星。

如此形成行星的过程能够说明太阳系的以下主要观测事实：

1.行星距离分布符合提丢斯-波得定则，这是因为形成行星的环带的距离

0

分布符合提丢斯-波得定则；卫星经由同样过程形成，也遵守同一定则。

2.单臂比多臂强而宽，所以一个环上只能形成一个大行星，因而一个轨道

环

上只有一个大行星。多臂主要在共转圈附近存在，所以在太阳系的中等距离上的小行星、彗星较多。

3.在QpR=Q的共转圈，势阱与物质自转速度相同。因而不能吸积环上的物质使云成为大行星，环上物质将保持比较分散的状态，同时共转圈附近臂数多，因此共转圈附近的环将形成小行星带。这说明为什么火星与木星间缺少一

23)

颗大行星，而有一小行星带存在。

4.行星的自转与公转同向。因为切向速度可从(6)一(9)式解出：

к2

o1e 2,

V1 = 2.322kmRO0

即切向速度比密度的位相落后m/2，于是切向速度的极大将出现在密度极大外侧，极小在内侧。因此势阱切向速度内慢外快。于是由势阱形成的行星的自转以及卫星的公转都与行星公转的方向相同。

三、结

论

总结上述研究，我们可以得出结论：太阳系原始星云盘的动力学给出了太阳系行星形成的图像。即在星云盘中将出现一系列环带和单臂旋涡波的主结构和多臂次级结构。臂与环带的交点构成引力势阱，势阱以图案速度相对于环上的物质运动时将物质搜集成为行星。由多臂形成的次级势阱则将形成小行星和彗星。势阱中搜集的物质云可能循同样过程形成卫星。这样的演化图像的理论推论，同太阳系的主要观测事实是符合的。我们在表1中列出了观测事实与理论图像的比较。我们这里只是解决了行星形成的基本动力学问题，提出了太阳系起源的星云说的一个新方案。同细致的观测资料的比较，还需考虑其他的物理因素的作用（可能与动力学过程同时进行，也可能在以后)，例如星云说共同存在的角动量问题，可能是由其他过程(例如沙兹曼机理[7)决定的，这些都还有待进一步研究。

表1理论图像与观测事实的比较

理论推论

观测事实

1.密度极大环带距离分布近于等比数列

1.行星距离分布的提丢斯-波得定则

2.卫星与行星形成过程类似

2.卫星距离分布的提丢斯-波得定则

3.单臂最强，存在范围最宽

3.一个轨道上只有一个大行星

4.共转圈上势阱与物质共转

4.火星与木星间缺少一颗大行星，而有一小行星带

5.多臂存在于共转圈附近

5.中距离小行星、彗星多

6.势阱切向速度外快内慢

6.行星自转与公转同向

7.势阱切向速度外快内慢

7.卫星公转与行星公转同向

感谢刘永镇、彭秋和、邹振隆同志有益的讨论。

参考文献

[1]戴文赛，陈道汉，太阳系起源各种学说的评价，天文学报，17(1976)，1,94.

[2] 林家 翘(C.C.Lin), in Galactic Astronomy(Eds.H.Y. Chiu & A. Muriel),Vol.2., Goldon and

Breach Sci. Pub., New York, 1972.

[3] Ward, W. R., in Frontiers of Astrophysics (Ed. E. H. Avrett), 1975, 34.

[4]徐遐生(Frank H.-S.Shu),Ap.J.,160(1970),99.

[5] Schatzman, E., in Physics of the Solar System (Ed. S. I. Rasool), Sci. and Tech. Information

Office NASA, 1972, 409.

[6] Nicto, M. R., The Titius-Bode Law of Planetary distances: its Histoory and

Theory, PergamonPress, 1972.

[7] Schatzman, E., Ann. D'Astrophysique, 18(1962), 18; 30(1967), 963.